Olas
ılık
12Tüm Durum 34.4.4 12.11.103.2.14
.4.431
.2.112.11.10
5
16 buluruz.55Cevap: E
3.SORU
Düzgün bir para 3 defa at
ıldığında en az
bir turagelme olas
ılığı kaçtır?
71151A) B) C) D) E)84866 (1987ÖYS)
ÇÖZÜM:
3
Soruyu tersten dü
şünerek çözelim.
33Hepsi yaz
ı gelsin
Olas
ılık1
Tüm durum217 1 buluruz.88Cevap: A
4.SORU
1. Olasılık Kavramı
Olasılık, bir olayın gerçekleşme olasılığını ölçen bir matematiksel alandır. Olasılık kuramı, genellikle belirsiz olayları analiz etmek ve bu olayların gerçekleşme ihtimallerini hesaplamak için kullanılır.
- Olasılık Tanımı:
Olasılık, bir olayın örneklem uzayındaki (evren) gerçekleşme oranı olarak tanımlanır. Olasılık değeri 0 ile 1 arasında değişir.- 0: Olayın gerçekleşme olasılığı yoktur, yani olay imkansızdır.
- 1: Olayın kesinlikle gerçekleşeceği anlamına gelir.
- 0 ile 1 arası: Olayın gerçekleşme ihtimali bu aralıktadır.
- Deney (Experimen):
Bir deney, belirli bir durumu gözlemlemek için yapılan işlem veya eylemdir. Örneğin, bir zar atmak, bir kart çekmek, bir madeni para atmak gibi işlemler birer deneydir.- Zar atıldığında, 1, 2, 3, 4, 5 veya 6 gelmesi gibi farklı sonuçlar olabilir.
- Örneklem Uzayı (Sample Space):
Bir deneyin tüm olası sonuçlarının kümesidir. Örneğin, bir zar atıldığında örneklem uzayı{1, 2, 3, 4, 5, 6}olacaktır. Eğer bir madeni para atılıyorsa, örneklem uzayı{Yazı, Tura}olacaktır. - Olaylar (Events):
Bir olay, örneklem uzayındaki belirli bir sonucu ifade eder. Zar atıldığında, “çift sayı gelmesi” bir olaydır. Olaylar şu şekilde kategorize edilebilir:- Basit Olaylar: Sadece bir sonucun gerçekleşmesini ifade eder. Örneğin, zarın 1 gelmesi basit bir olaydır.
- Birleşik Olaylar: Birden fazla basit olayın birleşiminden oluşur. Örneğin, zarın 1 veya 2 gelmesi birleşik bir olaydır.
2. Örneklem Uzayı (Evren)
Örneklem uzayı (evren), belirli bir deneyin tüm olası sonuçlarının kümesidir. Örneklem uzayının temel özelliklerini bilmek, olasılık hesaplamaları için çok önemlidir.
- Evrenin (Örneklem Uzayı) Özellikleri:
- Örneklem uzayındaki her eleman, bir deneye ait olası bir sonuçtur.
- Bir olay, örneklem uzayındaki bir veya birden fazla sonuca karşılık gelir.
- Tüm olaylar örneklem uzayında yer alır.
- Örneklem Uzayına Örnekler:
- Bir Zar Atma: Örneklem uzayı
{1, 2, 3, 4, 5, 6}. - Bir Madeni Para Atma: Örneklem uzayı
{Yazı, Tura}. - Bir Kart Çekme: Eğer standart bir deste kartla çekim yapılıyorsa, örneklem uzayı 52 karttan oluşacaktır.
- Bir Zar Atma: Örneklem uzayı
3. Olaylar ve Türleri
Olaylar, belirli bir deneye ait sonuçların belirli bir özelliği ifade eden kümelerdir. Olaylar farklı türlere ayrılabilir:
- Basit Olaylar (Simple Events):
Bir deneyin tek bir sonucu ifade eden olaylardır. Örneğin, bir zar atıldığında “5 gelmesi” bir basit olaydır. - Birleşik Olaylar (Compound Events):
Birden fazla basit olayın birleşiminden oluşur. Örneğin, bir zar atıldığında “1, 2 veya 3 gelmesi” birleşik bir olaydır. - Olumsuz Olaylar (Complementary Events):
Bir olayın olumsuzu, o olayın gerçekleşmemesi durumudur. Örneğin, “zarın 4 gelmesi” olayının olumsuzu “zarın 4 gelmemesi” olayıdır.- Eğer A bir olaysa, A olayının olumsuzunu A′A’A′ ile ifade ederiz ve P(A′)=1−P(A)P(A’) = 1 – P(A)P(A′)=1−P(A).
- Eş Zamanlı Olaylar (Mutually Exclusive Events):
Bu olaylar birbirini dışlar, yani her ikisi aynı anda gerçekleşemez. Örneğin, bir zar atıldığında “4 gelmesi” ile “6 gelmesi” eş zamanlı olaylardır, çünkü zar bir anda hem 4 hem de 6 gösteremez. - Bağımsız Olaylar (Independent Events):
Bir olayın gerçekleşmesi diğer olayın olasılığını etkilemez. Örneğin, bir zar atmak ve bir madeni para atmak bağımsız olaylardır, çünkü birinin sonucu diğerini etkilemez. - Bağımlı Olaylar (Dependent Events):
Bir olayın gerçekleşmesi diğer olayın olasılığını etkiler. Örneğin, bir kart çekildiğinde bu kartın özellikleri (örneğin, renginin kırmızı olması) ikinci kartın çekilme olasılığını etkiler. Bu durumda olaylar bağımlıdır.
4. Olasılık Hesaplama Yöntemleri
Olasılık hesaplamalarında iki temel kural vardır: Toplama ve Çarpma kuralları.
Toplama Kuralı:
Toplama kuralı, birden fazla olayın birleşim olasılığını hesaplamak için kullanılır.
- Eş Zamanlı Olaylar için (Mutually Exclusive Events):
Eğer iki olay eş zamanlıysa, yani aynı anda gerçekleşemezlerse, bu olayların birleşim olasılığı, her bir olayın olasılığının toplamına eşittir - Eş Zamanlı Olmayan Olaylar için (Non-Mutually Exclusive Events):
Eğer iki olay eş zamanlı değilse, yani aynı anda gerçekleşebilirlerse, birleşim olasılığı
Çarpma Kuralı:
Çarpma kuralı, bağımsız olayların aynı anda gerçekleşme olasılığını hesaplamak için kullanılır.
- Bağımsız Olaylar için:
, bir zar atıldığında “1 gelmesi” ve bir madeni para atıldığında “Tura gelmesi” olaylarının birlikte gerçekleşme olasılığı, her iki olayın olasılıklarının çarpımıdır. - Bağımlı Olaylar için:
Eğer olaylar bağımlıysa, ikinci olayın olasılığı, ilk olayın sonucuna bağlı olarak değişir
5. Koşullu Olasılık (Conditional Probability)
Koşullu olasılık, bir olayın gerçekleşme olasılığının, diğer bir olayın gerçekleştiği durumda nasıl değiştiğini anlamamıza yardımcı olur.
- Koşullu Olasılık Tanımı:
Koşullu olasılık, bir olayın olasılığının, başka bir olayın gerçekleşmesinden sonra nasıl değiştiğini ifade eder.
6. Bernoulli Denemeleri ve Binom Olasılığı
Bernoulli denemeleri, sadece iki olası sonuç (başarı veya başarısızlık) olan deneylerdir. Bir deneyin başarıyla veya başarısızlıkla sonuçlanması mümkündür.
- Binom Olasılığı:
Binom olasılığı, birden fazla Bernoulli denemesi sonucunda başarıların olasılığını hesaplamak için kullanılır.
7. Kombinasyon ve Permütasyon
Olasılık problemlerinde, kombinasyon ve permütasyon, olayların sırasını ve seçilme yollarını hesaplamak için kullanılır.
- Kombinasyon (Combination):
Bir kümeden öğeler seçerken, sıralamanın önemli olmadığı durumlar için kullanılır. - Permütasyon (Permutation):
Bir kümeden öğeler seçerken, sıralamanın önemli olduğu durumlar için kullanılır.
8. Olasılık Dağılımları
Olasılık dağılımları, bir deneyin sonuçlarının dağılımını modelleyen matematiksel fonksiyonlardır.
- Binom Dağılımı:
Bernoulli denemeleri ile ilgili olayların dağılımıdır. - Poisson Dağılımı:
Nadir olayların belirli bir zaman dilimi içinde meydana gelme olasılığını ifade eder. - Normal Dağılım:
Sürekli veri için en yaygın kullanılan dağılımdır. Pek çok doğal olay bu dağılıma uyar.
Olasılık, bir olayın gerçekleşme olasılığını ölçen bir matematiksel alandır. Olasılık kuramı, genellikle belirsiz olayları analiz etmek ve bu olayların gerçekleşme ihtimallerini hesaplamak için kullanılır.
- Olasılık Tanımı:
Olasılık, bir olayın örneklem uzayındaki (evren) gerçekleşme oranı olarak tanımlanır. Olasılık değeri 0 ile 1 arasında değişir.- 0: Olayın gerçekleşme olasılığı yoktur, yani olay imkansızdır.
- 1: Olayın kesinlikle gerçekleşeceği anlamına gelir.
- 0 ile 1 arası: Olayın gerçekleşme ihtimali bu aralıktadır.
- Deney (Experimen):
Bir deney, belirli bir durumu gözlemlemek için yapılan işlem veya eylemdir. Örneğin, bir zar atmak, bir kart çekmek, bir madeni para atmak gibi işlemler birer deneydir.- Zar atıldığında, 1, 2, 3, 4, 5 veya 6 gelmesi gibi farklı sonuçlar olabilir.
- Örneklem Uzayı (Sample Space):
Bir deneyin tüm olası sonuçlarının kümesidir. Örneğin, bir zar atıldığında örneklem uzayı{1, 2, 3, 4, 5, 6}olacaktır. Eğer bir madeni para atılıyorsa, örneklem uzayı{Yazı, Tura}olacaktır. - Olaylar (Events):
Bir olay, örneklem uzayındaki belirli bir sonucu ifade eder. Zar atıldığında, “çift sayı gelmesi” bir olaydır. Olaylar şu şekilde kategorize edilebilir:- Basit Olaylar: Sadece bir sonucun gerçekleşmesini ifade eder. Örneğin, zarın 1 gelmesi basit bir olaydır.
- Birleşik Olaylar: Birden fazla basit olayın birleşiminden oluşur. Örneğin, zarın 1 veya 2 gelmesi birleşik bir olaydır.
Bir yanıt yazın