A.SAYMA YÖNTEMLERİ

• Bire Bir Eşleme Yoluyla Sayma
• Toplama Yoluyla Sayma
• Çarpma Yoluyla Sayma
• Satmanın temel ilkesi

B.PERMÜTASYON

• Faktoriyel
• Permütasyon
• Tekrarlı permütasyon

Saymanın Tanımı:

Sayma, sonlu bir nesne kümesinin eleman sayısını belirleme sürecidir ; yani, bir kümenin boyutunu belirleme. Geleneksel sayma yöntemi, kümenin her elemanı için bir (zihinsel veya sözlü) sayacı bir birim artırarak , aynı elemanı birden fazla ziyaret etmekten kaçınmak için bu elemanları işaretlemek (veya yerlerini değiştirmek) ve işaretlenmemiş eleman kalmayana kadar devam etmekten oluşur; eğer sayaç ilk nesneden sonra bire ayarlanmışsa, son nesneyi ziyaret ettikten sonraki değer istenen eleman sayısını verir. İlgili terim olan sayım, her bir elemana bir sayı atayarak sonlu (kombinatoryal) kümenin veya sonsuz kümenin elemanlarını benzersiz şekilde tanımlamayı ifade eder .

Sayma bazen birden farklı sayıları da içerir; örneğin, para sayarken, para üstünü sayarken, “ikişer ikişer sayarken” (2, 4, 6, 8, 10, 12, …), ya da “beşer beşer sayarken” (5, 10, 15, 20, 25, …).

Saymanın Günlük Hayatta Kullanıldığı Yerler

İçinde bulunduğumuz yüzyıl; büyük teknolojik gelişmelerin yaşandığı, herhangi bir bilgiye çok hızlı bir şekilde ulaşılabilen bilgi çağıdır. Geçmiş dönemlerde kasalarda fiziksel olarak saklanan birçok şey günümüzde dijital ortamda, dijital şifrelerle saklanmaktadır. Günümüzde bilgiye ulaşmanın kolaylığı göz önünde bulundurulduğunda kişisel bilgilerin saklanması çok önemli bir hâle gelmiştir. Bu bilgilerin saklanmasında kullanılan şifrelerin çok kuvvetli yani kolay tahmin edilemeyecek, başkaları tarafından çözülemeyecek zorlukta olması gerekmektedir. Böyle bir şifrenin oluşturulmasında sayma ve olasılık konularında bilgi sahibi olunması büyük kolaylık sağlar. Rakamlar arasından seçilen 3 haneli bir şifre için 1000 farklı durum varken rakamlar ve Türk alfabesinin harfleri arasından seçilen 3 haneli bir şifre için 59 319 farklı durum vardır. Rakamlar, Türk alfabesinin harfleri ve 8 farklı simge arasından seçilen 3 haneli bir şifre için ise 103 823 farklı durum vardır. Bu şekilde oluşturulan şifrelerin başkası tarafından tahmin edilmesi oldukça zordur.

Sayma Yöntemleri:

(1) Bire Bir Eşleme Yoluyla Sayma: Bir kümenin elemanları ile Z+= {1,2,3, …} kümesinin elemanları arasında bire bir eşleme yaparak verilen kümenin eleman sayısını bulma işlemine bire bir eşleme yoluyla sayma denir. Kümenin son elemanı ile eşleşen doğal sayı kümenin eleman sayısı olur.

2) Toplama Yoluyla Sayma: A ile B sonlu ve ayrık iki küme olsun. Bu iki kümenin birleşim kümesinin eleman sayısını bulma işlemine toplama yoluyla sayma denir. Ayrık kümelerde birleşim kümesinin eleman sayısı s(A,B) = s(A) + s(B) ile hesaplanır

3) Çarpma Yoluyla Sayma: A ve B boş kümeden farklı, ayrık iki küme olmak üzere A ×x B kümesinde oluşan sıralı ikililerin eleman sayısını bulma işlemine çarpma yoluyla sayma denir.s(A× x B) = s(A) . s(B) şeklinde hesaplanır.Kıyafet kombinasyonlarınızda 3 farklı çanta, 2 farklı ayakkabı ve bir şapka ile kaç farklı görüntü elde edebileceğimizi bu yöntemi kullanarak bulabiliriz

Saymanın Temel İlkesi: Bir A olayı ayrık A1, A2, …, Ar aşamalarında sırasıyla gerçekleşsin.

A1 aşaması n1 farklı yolla,

A2 aşaması n2 farklı yolla,

………………………………

Ar aşaması nr farklı yolla gerçekleşmesi durumunda A olayı n1. n2. …. nrfarklı yolla gerçekleşir.

s(A) = s(A1 x× A2× x…× x Ar )=n1 . n2 . … . nr dir.

Faktoriyel:

n bir pozitif tam sayı olmak üzere 1 den n ye kadar olan doğal sayıların çarpımına n faktöriyel denir ve n! şeklinde gösterilir

n! = 1 . 2 . … . (n . 1) . (n)

1! = 1

2! = 1 . 2 = 2

3! = 1 . 2 . 3 = 6

4! = 1 . 2 . 3 . 4 = 24

5! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 = 120

6! = 6 . 5! = 6 . 5 . 4!

0! = 1 olarak kabul edilir.

n! = n . (n -1)! = n . (n-1) . (n-2)! şeklinde yazılabilir

Permütasyonun Tanımı:

Permütasyon, bir sıralama düzeni içinde belirli nesnelerin seçilmesiyle ilgilenen bir kavramdır. Permütasyon, nPr veya P(n,r) şeklinde gösterilir. Burada n toplam öğe sayısını, r ise seçilen öğe sayısını temsil eder. Permütasyon, sıralı düzenlemelerin sayısını ifade eder.

P (n,r) = π!/(n-r)!

Burada n! (n faktöriyel): n sayısının faktöriyelini ifade eder. n! ifadesi, n ile 1 arasındaki tüm pozitif tam sayılarının çarpımını ifade eder.

Permütasyon sayısı, sıralamanın önemli olduğu durumlarda kullanılır. Yani, seçilen öğelerin hangi sıra ile seçildiği önemliyse permütasyon sayısını kullanırız.

Permütasyon:

n,rR! ve n≥r olmak üzere n elemanlı bir A={x1,x2,…,xn} küme-sinin birbirinden farklı r tane elemanından oluşan sıralı r lilerine A kümesinin r li permütasyonları (dizilişleri) denir. Permütasyon sayısı ile farklı dizilişlerin sayısı kastedilir.

n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı permütasyonlarının sayısı P(n,r) biçiminde gösterilir.

P (n , r) = n! / (n – r)! formülü ile hesaplanır.

Permütasyon örnekleri:

Soru 1: Bir kitap raflarında 5 farklı roman ve 3 farklı tarih kitabı bulunmaktadır. Bu kitaplardan kaç farklı şekilde 3 kitap seçilebilir?

Çözüm 1: Permütasyon formülü kullanarak çözebiliriz:

P (8 , 3) = 8! / (8 – 3)! = 8! / 5! = 8*7*6 = 336

Bu durumda, 8 farklı kitap arasından 3 kitap seçmenin 336 farklı permütasyonu vardır.

Soru 2: ABCD dört harfinin oluşturduğu bir küme düşünün. Bu harflerle kaç farklı sıralama yapılabilir?

Çözüm 2: 4 harfin oluşturduğu kümenin permütasyonu P(4,4) olacaktır. Formülü kullanarak hesaplayabiliriz:

P (4 , 4) = 4*3*2*1 = 24

Tekrarlı Permütasyon:

Bazı elemanları özdeş olan n elemanlı bir kümenin n li permütasyonlarına tekrarlı permütasyon denir.

r1, r2, …, rkZ!+ ve n = r1+ r2 + … +rk olmak üzere n elemanlı bir kümenin r1 tanesi birbiriyle özdeş, r2 tanesi birbiriyle özdeş, …, r tanesi birbiriyle özdeş ise n elemanlı kümenin elemanlarının n li permütasyonlarının (dizilişlerinin) sayısı

‘n’ şeyden ‘r’ şeyin tekrarlarla düzenlenmesi gerektiğinde kullanılan permütasyon formülü sadece n ^r’dir . Bunun nedeni, ‘r’ şeyin her birinin ‘n’ farklı şekilde seçilebilmesidir, böylece n×n×n×…. ×n (r kez) = n ^r elde edilir .

Örnek: a, b, c, d ve e harflerinden tekrarlanabilen 3 harfli sayı kelimelerini bulunuz.

Çözüm:

Mevcut harf sayısı, n = 5’tir.

Her kelimedeki harf sayısı, r = 3’tür.

Harflerin tekrarı olabileceğinden,

olası kelime sayısı 5 ³ = 125’tir:

Sayma Ve Permütasyon Testi PDF