Matematik dünyasının en pratik konularından biri olan analitik geometri, geometrik şekillerin koordinat düzleminde denklemlerle ifade edilmesini sağlar. Bu yöntemle nokta, doğru, çember ve diğer geometrik şekilleri cebirsel olarak analiz edebilirsiniz. Analitik geometri yi daha iyi kavrayabilmek için üçgenler konusuna bakabilirsiniz.

NOKTANIN ANALİTİK İNCELEMESİ

• Koordinat Düzlemi
• Analitik Düzlemde İki Nokta Arası Uzaklık
• Ağırlık Merkezi
• Paralel Kenar Metodu
• Orta Nokta
• Bir Doğru Parçasını Belli Oranda Bölen Noktanın Koordinatları

Analitik Geometri ‘nin Günlük Hayatta Kullanıldığı Yerler

Tiyatro salonunda, devam eden koltuk numaralarına karşılık gelen yer bulunur.Amiral battı oyununda kullanılır.Fizik,mühendislik ve havacılık, roketçilik, uzay bilimi ve uzay uçuşu gibi alanlarda kullanılır. Cebirsel, diferansiyel, ayrık ve hesaplamalı geometri dahil olmak üzere birçok çağdaş geometrik disiplinin temel taşı olarak hizmet eder.

1) KOORDİNAT DÜZLEMİ

Kartezyen koordinat sistemi, bir noktanın konumunun birbirine dik eksenlere olan pozitif/negatif yöndeki uzaklıkları şeklinde ifade edildiği bir sistemdir. Başka koordinat sistemleri de bulunmakla birlikte, kartezyen koordinat sistemi analitik geometri de en sık kullanılan koordinat sistemidir.

2)ANALİTİK DÜZLEMDE İKİ NOKTA ARASI UZAKLIK

İki Nokta Arasındaki Uzaklık A ve B noktaları için, AB doğru parçasının uzunluğuna, A ve B noktaları arasındaki uzaklık denir. Koordinatları A= (x1 , y1) ve B = (x2 , y2) olan iki nokta arasındaki uzaklık karşılıklı bileşenleri farklarının kareleri toplamının kareköküne eşittir ve |AB| ile gösterilir.

3)AĞIRLIK MERKEZİ

Doğrusal olmayan üç noktanın oluşturduğu üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları bu üç noktanın apsis ve ordinat değerlerinin aritmetik ortalaması alınarak bulunur.

4)PARALELKENAR METODU

Bir paralelkenarın karşılıklı köşelerinin koordinatları toplamı birbirine eşittir. Bu özellik aynı zamanda birer paralelkenar olan dikdörtgen, kare ve eşkenar dörtgen için de geçerlidir.

5) İKİ NOKTANIN ORTA NOKTASI

İki noktanın orta noktası, bu iki noktayı birleştiren doğru parçası üzerinde bulunan ve her iki noktaya eşit uzaklıktaki noktadır. Benzer üçgenlerden görülebileceği üzere, bu orta noktanın apsis ve ordinat değerleri verilen iki noktanın apsis ve ordinat değerlerinin toplamının yarısına (aritmetik ortalamasına) eşittir.

6) BİR DOĞRU PARÇASINI BELİRLİ BİR ORANDA İÇTEN BÖLEN NOKTA

7)BİR DOĞRU PARÇASINI BELİRLİ BİR ORANDA DIŞTAN BÖLEN NOKTA

DOĞRU’NUN ANALİTİK İNCELEMESİ

• Analitik Düzlemde Doğru
• Bazı özel Doğrular
• Doğrunun Eğimi
• Doğrunun Denkleminin Bulunması
• İki Doğrunun Birbirine Göre Durumu
• İki Doğrunun Kesişmesi
• Bir nokta ve doğru arası uzaklık
• Paralel iki doğru arası uzaklık

1)ANALİTİK DÜZLEMDE DOĞRU

Tek boyutlu, düz ve her iki yönde sonsuza giden geometrik şekle doğru denir.

DOĞRUNUN DENKLEMİ

Bir doğrunun denklemi birinci dereceden iki değişkenli denklemdir. Denklemin iki değişkeni doğru üzerindeki noktaların apsis ve ordinat değerlerini temsil eden ve değişkenleridir. Denklemin birinci dereceden olması değişkenlerin 1 dışında bir kuvvetinin bulunmaması anlamına gelir.Bir doğrunun denklemi açık ve kapalı olmak üzere iki şekilde yazılabilir.

2)Doğrunun Eksenleri Kestiği Noktalar

Y EKSENİNİ KESTİĞİ NOKTA

Y ekseni üzerindeki tüm noktaların apsis değeri sıfır olduğu için, bir doğrunun y eksenini kestiği noktanın ordinat değeri doğru denkleminde x=0 yazılarak bulunabilir.

X EKSENİNİ KESTİĞİ NOKTA

X ekseni üzerindeki tüm noktaların ordinat değeri sıfır olduğu için, bir doğrunun x eksenini kestiği noktanın apsis değeri doğru denkleminde y=0 yazılarak bulunabilir.

3) ÖZEL BAZI DOĞRULAR

Yatay Doğrular

X eksenine paralel doğruların üzerindeki noktaların ordinat değeri tüm doğru boyunca sabittir, bu yüzden bu doğruların denklemi x değişkeni içermez ve c bir reel sayı olmak üzere y=c şeklinde ifade edilir.Kendisi de bir yatay doğru olan x ekseni y=0 doğrusuna karşılık gelir.

Dikey Doğrular

Y eksenine paralel doğruların üzerindeki noktaların apsis değeri tüm doğru boyunca sabittir, bu yüzden bu doğruların denklemi y değişkeni içermez ve y bir reel sayı olmak üzere x=c şeklinde ifade edilir.Kendisi de bir dikey doğru olan y ekseni x=0 doğrusuna karşılık gelir.

4) DOĞRUNUN EĞİMİ

Bir Noktası ve Eğimi Bilinen Doğru

formülü ile bulunur.

İki Noktası Bilinen Doğru

Eksenleri Kestiği Noktalar Bilinen Doğru

5)İki Doğrunun Birbirine Göre Durumu

Kesişen Doğrular

İki doğrunun tek bir noktada kesişme koşulu:

m1≠m2

Bu aynı zamanda doğrunun kapalı denkleminde x ve y katsayılarının oranlarının farklı olması anlamına gelir.

Dik Kesişen Doğrular

m1.m2=-1′ dir.

Çakışık Doğrular

a1÷a2= b1 ÷b2 = c1÷c2

Paralel Doğrular

a1÷a2= b1 ÷b2 ≠ c1÷c2

6) İki Doğrunun Kesişmesi

İki doğrunun kesişim noktasını bulmak için denklemler aşağıdaki şekilde ortak çözülür

Doğrulardan birinin denklemi y=mx+c formunda yazılır.

Bu y değeri ikinci doğru denkleminde yerine konur ve eşitlik için çözülür.

Bulunan değeri kesişim noktasının apsisini verir.

Bu değer iki doğru denkleminden herhangi birinde yerine konarak kesişim noktasının ordinatı bulunur.

Eğer iki denklemi de sağlayan bir x değeri bulunmuyorsa doğrular kesişmez (paraleldir).

Eğer iki denklemi de sağlayan sonsuz sayıda değeri bulunuyorsa doğrular çakışıktır.

7)Bir Nokta ve Doğru Arası Uzaklık

8) İki Paralel Doğru Arası Uzaklık

Soruları çözelim