10. Sınıf Sayılar konu anlatımı 10. Sınıf 3. tema olarak yeni maarif modelin üçüncü konusudur. 10. Sınıf Sayılar konu anlatımı 9. sınıfta öğrendiğiniz sayılar konusunu temel olarak alır. Yeni Türkiye Yüzyılı Maarif Modeli ile değişen yazımızda öğrencilerin doğal sayıların asal çarpanları ve bölenlerine ilişkin çıkarım yapabilmeleri; en büyük ortak bölene (EBOB), en küçük ortak kata (EKOK) ve bir doğal sayının belirli doğal sayılara bölümünden kalanlara dair muhakeme sürecini işe koşabilmeleri amaçlanmaktadır. Öğrencilerden beklenen öğrenme çıktıları;

• Bir doğal sayı ile asal çarpanları ve bölenleri arasındaki ilişkilere dair çıkarım yapabilme
• Birden çok doğal sayının ortak bölenleriyle bunların en büyüğü ve ortak katlarıyla bunların en küçüğü arasındaki ilişkilere dair muhakeme yapabilme
• Bir doğal sayının belirli doğal sayılara bölümünden kalanlarına dair muhakeme yapabilme

3.1. BİR DOĞAL SAYI İLE ASAL ÇARPANLARI VE BÖLENLERİ ARASINDAKİ İLİŞKİLER

a) Bir doğal sayının asal çarpanları ve bölenleri hakkında varsayımlarda bulunur.
b) Farklı örneklerden elde ettiği örüntüleri listeleyerek bir doğal sayının asal çarpanları ve bölenleri hakkındaki varsayımlarına yönelik örüntüleri geneller.
c) Oluşturduğu genellemelerin varsayımlarını karşılayıp karşılamadığını örneklerle sınar.
ç) Bir doğal sayının asal çarpanları ve bölenleri ile ilgili ulaştığı sonuçlara yönelik matematiksel önermeler sunar.
d) Elde ettiği önermelerin gerçek yaşam durumları içeren problemlerdeki kullanışlılığını değerlendirir.

Asıl konu 10. Sınıf Sayılar konu anlatımı geçmeden önce ortaokulda öğrendiğiniz sayılar ile ilgili temel kavramlara göz atalım.

TEK VE ÇİFT SAYILAR

Teklik-çiftlik kavramları doğal sayılar ve tam sayılar için geçerlidir.

2 nin katı olan tamsayılara çift sayı, 2 nin katı olmayan tam sayılara tek sayı denir.

Tek (T) = {…,-3, -1, 1, 3, …}

Çift (Ç) = {…,-4, -2, 0, 2, 4, …}

Teklik ve çiftlik işlemlerinde tek sayı yerine 1, çift sayı yerine 0 yazarak sonucun tekliğini çiftliğini kolayca tespit edebiliriz.

Örnek 1

Örnek 2

x tek sayı ve y çift sayı olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

A) x + y tek sayıdır. B) x•y çift sayıdır. C) 2x + 3y çift sayıdır. D) 3x + 2y tek sayıdır.

E) x²-y³ çift sayıdır.

Örnek 3

a, b ve c birer pozitif tam sayıdır.

a•b=2c + 1

olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi

her zaman çift sayıdır?

A) a + b + c B) a•b•c C) (a + b)•c D) (a + c)•b E) (b + c)•a

Örnek 4

Örnek 5

Aytaç, Bilge ve Caner isimli üç kardeşin yaşları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir.

• Aytaç ile Bilge’nin yaşları toplamı tek sayıdır.

• Bilge’nin yaşı Caner’in yaşının 2 katıdır.

• Aytaç ile Caner’in yaşları çarpımı çift sayıdır.

Buna göre Aytaç, Bilge ve Caner’in yaşlarının sırasıyla tek sayı ya da çift sayı olarak sınıflandırılması aşağıdakilerden hangisidir?

A) Tek, Çift, Tek

B) Çift, Tek, Çift

C) Tek, Çift, Çift

D) Çift, Çift, Tek

E) Tek, Tek, Çift

Örnek 6

Azra, Buse ve Cenk bir pizzacıya giderek üç farklı çeşit pizza siparişi veriyor. Pizzalar geldiğinde Azra pizzasını a,Buse pizzasını b, Cenk ise pizzasını c eş dilime ayırıyor.Sonra,

• Azra Buse’ye 1 dilim,

• Buse Cenk’e 2 dilim,

• Cenk Azra’ya 3 dilim

kendi pizzalarından ikram ediyor.

Son durumda üçünün de önlerindeki pizza dilimlerinin sayısı eşit olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğru olabilir?

A) a + b toplamı çift sayıdır.

B) b + c toplamı tek sayıdır.

C) a + c toplamı çift sayıdır.

D) a•b çarpımı tek sayıdır.

E) b•c çarpımı tek sayıdır.

Örnek 7

Satış fiyatı 3A TL olan bir telefonun A TL’sini peşin ödeyen Bülent, geri kalan borcu taksitle ödemiştir. Her biri B TL olan bu taksitlerden C tane ödediğinde kalan borcu B TL olmuştur.

A, B ve C birer pozitif tam sayı olmak üzere, aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A) A tek sayı ise B çift sayıdır.

B) B tek sayı ise C tek sayıdır.

C) C çift sayı ise B tek sayıdır.

D) C tek sayı ise A çift sayıdır.

E) B çift sayı ise C çift sayıdır.

ARDIŞIK TAM SAYILAR

Belirli bir kurala göre artan ya da azalan sayılara ardışık sayılar denir. n bir tam sayı olmak üzere,

Ardışık Tam Sayılar: {…,-2,-1, 0, 1, 2, … n …} aralarında ki fark 1’dir

Ardışık Tek Sayılar: {…,-3,-1, 1, 3, … 2n+1 …} aralarındaki fark 2’dir

Ardışık Çift Sayılar: {…,-4,-2, 0, 2, 4, … 2n …} aralarındaki fark 2’dir

Örnek 1

Ardışık üç çift sayının toplamı, bu sayılardan en küçük olanın 4 katına eşittir.

Buna göre, bu sayılardan en büyük olanı kaçtır?

Örnek 2

Ardışık üç tek sayının toplamı 63 olduğuna göre, bu sayıların en büyüğü kaçtır?

Örnek 3

(3x + 2) ve (5x – 5) ardışık iki tam sayıdır.

Buna göre, x’in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

Örnek 4

a, b ve c ardışık tek sayıları a<b<c eşitsizliğini sağlamaktadır.

Buna göre;

(b – a) • (c – a) + (c – b)

işleminin sonucu kaçtır?

Örnek 1

A = 6 + 12 + 18 + • • • + 80

B = 5 + 10 + 15 + • • • + 70

olduğuna göre, A–B farkı kaçtır?

Örnek 2

1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + • • • – 198 + 199
ifadesinin değeri kaçtır?

Örnek 3

Ardışık 5 tane tam sayının toplamı 50 olduğuna göre, bu sayıların en küçüğü kaçtır?

BASAMAK KAVRAMI

En az iki basamaklı bir doğal sayının, herhangi birbasamağındaki rakamın o basamağın değeriyle çarpılmasıyla basamak değeri elde edilir.
Sayıların basamak değerlerinin toplamı olarak yazılmasına çözümleme denir.

Örnek 1

Rakamları farklı iki basamaklı en büyük doğal sayı ile rakamları farklı üç basamaklı en küçük doğal sayının toplamı kaçtır?

Örnek 2

Birler basamağındaki rakamı onlar basamağındaki rakamından 4 fazla olan iki basamaklı doğal sayılardan en büyüğü ile en küçüğünün toplamı kaçtır?

Örnek 3

İki basamaklı AB doğal sayısından, rakamlarının toplamı çıkarıldığında iki basamaklı BA doğal sayısı elde ediliyor.
Buna göre, A + B toplamı kaçtır?

Örnek 4

AB ve BA iki basamaklı doğal sayılar olmak üzere
AB + BA = 165
olduğuna göre A+B toplamı kaçtır?

Örnek 5

ABC ve CBA üç basamaklı doğal sayılar
ABC – CBA =198
olduğuna göre A+B+C toplamı en çok kaçtır?

Örnek 6

İki basamaklı AB doğal sayısının onlar basamağının 3 artırılıp birler basamağının 4 azaltılmasıyla elde edilen yeni sayı, AB sayısının 2 katından 13 eksik oluyor.
Buna göre, A + B toplamı kaçtır?

ASAL SAYILAR

• Sadece 1’e ve kendisine bölünebilen doğal sayılara asal sayı denir.
• Asal sayılar : {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}
• Asal sayıların sadece iki tane doğal sayı böleni olmalıdır.
• 1’in böleni 1’dir. O halde bir adet böleni olduğu için 1 asal sayı değildir.
• 2 sayısı en küçük asal sayıdır ve çift olan başka asal sayı yoktur.
• Ortak böleni sadece 1 olan sayılara aralarında asal sayılar denir.

Örnek 1

m ve n birbirinden farklı asal sayılar olmak üzere
2m+n
toplamının en küçük değeri kaçtır?

Örnek 2

a ve b birer pozitif tam sayıdır.
(a – b)•(a + b)= 17
olduğuna göre, a•b çarpımı kaçtır?

Örnek 3

a ve b birer asal sayı olmak üzere,
a•(a + b)= 30
eşitliğini sağlayan farklı b değerlerinin toplamı kaçtır?

Örnek 4

a ve b pozitif tam sayılar olmak üzere
a²=48•b
eşitliği veriliyor.
Buna göre a+b toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Örnek 5

a, b ve c aralarında asal sayılar olmak üzere,
a•b= 24
b•c= 56
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre, a + b + c toplamı kaç olabilir?

ASAL ÇARPANLARA AYIRMA

Bir doğal sayıyı, asal sayıların çarpımı şeklinde yazmaya asal çarpanlara ayırma denir.Doğal sayılar asal çarpanlara ayrılırken çarpan ağacıya da asal çarpan algoritmasından faydalanılır.

Bir doğal sayıyı tam bölen asal sayılara bu sayının asal çarpanları denir.
x, y, z pozitif tam sayılar ve a, b, c birbirinden farklı asal sayılar olmak üzere, A doğal sayısı,
A=a^x•b^y•c^z
biçiminde yazılabiliyorsa a, b ve c sayıları A sayısının asal çarpanlarıdır.

A sayısının,

• Asal tam bölen sayısı=3 tane (a, b, c)
• Pozitif tam bölen sayısı=(x + 1)•(y + 1)•(z + 1)
• Negatif tam bölen sayısı=(x + 1)•(y + 1)•(z + 1)
• Tam bölen sayısı=2•(x + 1)•(y + 1)•(z + 1)
• Tam bölenlerinin toplamı= 0 (Negatif bölen ve pozitiflerin bölenlerin toplamı)