KONU BAŞLIKLARI

Üst Başlık: Köklü Sayılar

Alt Başlıklar:

Köklü Sayının Tanımı

Gerçek Sayılarda Kök İşlemleri

Kökten Kurtarma

Kök İçinde Dört İşlem

Rasyonel Hale Getirme

Gerçek Hayatta Köklü Sayılar

1.KÖKLÜ SAYILAR NEDİR?

Köklü sayılar, matematikte tam kare olmayan ya da üstlü ifadelerle gösterilemeyen sayıların daha kolay anlaşılmasını ve yazılmasını sağlar.

Örneğin:

3 × 3 = 9 → √9 = 3

Ancak √2 gibi sayılar tam sayı değildir, yaklaşık değeri vardır (√2 ≈ 1.41)

Köklü ifade, içinde kök (√) sembolü geçen ifadelere denir.
Bu sembol “karekök” olarak okunur ve “bir sayının kendisiyle çarpıldığında hangi sayıyı verir?” sorusunu ifade eder.

Genel Gösterim:

√a → a ≥ 0 olacak şekilde tanımlanır.

Daha genel hâliyle: n√a → burada n kökün derecesi, a kök içindeki sayıdır.
Örnek: ³√8 = 2 çünkü 2 × 2 × 2 = 8

---

2. KAREKÖKLÜ SAYILARIN ÖZELLİKLERİ

a. Tanım Kümesi

Karekök işlemi, negatif sayılar için gerçek sayılar kümesinde tanımlı değildir.
Yani:

√9 = 3

√(-9) = tanımsızdır (gerçek sayılar içinde)

b. Karekök ile Karesi Ters İşlemdir

Bir sayının karesini alıp sonra karekökünü alırsan, başlangıçtaki pozitif değere dönersin:

√(a²) = |a| (mutlak değeri)

Örnek:

√(5²) = √25 = 5

√((-5)²) = √25 = 5

---

3. KÖKLÜ SAYILARDA DÖRT İŞLEM

a. Toplama ve Çıkarma

Köklü ifadeler yalnızca aynı kök içeriğine sahipse toplanabilir ya da çıkarılabilir.
Buna “benzer terimleri toplama” denir.

Doğru örnek:

2√3 + 5√3 = 7√3

6√2 − 4√2 = 2√2

Yanlış örnek:

√2 + √5 = toplanamaz (çünkü kök içleri farklıdır)

b. Çarpma

Köklü ifadeler çarpılırken, kök içleri çarpılarak yazılır.

Örnekler:

√2 × √3 = √6

2√5 × 3√2 = (2 × 3) × √(5 × 2) = 6√10

c. Bölme

Köklü ifadelerin bölünmesinde, kök içleri birbirine bölünür:

Örnek:

√8 / √2 = √(8 ÷ 2) = √4 = 2

d. Rasyonel Hale Getirme (Paydadaki kökten kurtarma)

Paydada köklü ifade varsa, bu ifade rasyonel hale getirilmelidir.
Bu işlem için köklü ifade ile genişletme yapılır.

Örnek:

1 / √2 → (√2 / √2) ile genişlet:
= √2 / 2

Daha karmaşık ifadelerde, paydanın eşleniği kullanılır.
Eşlenik:

(√a + √b)’nin eşleniği → (√a – √b)

---

4. KÖKTEN ÇIKARMA VE SADELEŞTİRME

Bazı köklü ifadeler, içinde tam kare çarpan varsa sadeleştirilebilir.
Bu işleme “kökten çıkarma” ya da “sadeleştirme” denir.

Örnekler:

√50 = √(25 × 2) = 5√2

√72 = √(36 × 2) = 6√2

√18 = √(9 × 2) = 3√2

---

5. KÖKLÜ SAYILARIN ÜSLÜ ŞEKLİ

Köklü ifadeler, üstlü ifadeler olarak da yazılabilir:

√a = a^½
³√a = a^(1/3)

Bu gösterim, özellikle türev/integral gibi ileri matematikte çok işe yarar.

---

6. GERÇEK HAYATTA KULLANIM ALANLARI (GENİŞ)

Köklü ifadeler yalnızca teorik matematikte değil, gerçek hayatta da birçok yerde kullanılır:

Mühendislik ve Mimarlık: Bir köprünün çapraz uzunluğu veya bir binanın destek açıları hesaplanırken Pisagor Teoremi kullanılır. Bu teoremde karekök vardır.
Örn: Dik kenarlar 6 m ve 8 m ise → Hipotenüs = √(6² + 8²) = √100 = 10 m

Fizik: Serbest düşme, hız ve enerji gibi konularda karekökler yer alır.
Örn: t = √(2h / g) formülü, yükseklikten düşen bir cismin yere düşme süresini verir.

İstatistik: Standart sapma ve varyans gibi ölçüler karekök içerir.
Örn: σ = √(ortalama sapmaların karesi / n)

Coğrafya: Harita üzerinde iki şehir arası uzaklık, koordinatlarla hesaplanır.
Örn: √[(x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²]

Finans: Portföy riski, standart sapma gibi hesaplamalarda köklü formüller bulunur.

Bilgisayar Oyunları ve Yazılımlar: Nesneler arası mesafeler, yönler ya da animasyonlarda karekök formülleriyle hesap yapılır.

Tıp: DNA uzunluğu hesapları, hücre bölünmeleri gibi biyolojik ölçümlerde köklü ifadeler kullanılır.

HAZIRLAYAN : MEHMET ŞAHİN 11-A 701